viernes, 13 de julio de 2012

Deducción de la fórmula para resolver ecuaciones de la forma x^2+mx+n=0




Fórmula General Cuadrática.
Las ecuaciones de la forma como x^2+5x+6=0 se caracterizan porque el coeficiente del término en x^2 es 1.Estas ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general:
Con sólo suponer en ésta que a=1,pero existe para ella una fórmula particular,que vamos a deducir,


La ecuación es x^2+mx+n=0

1º) Transponiendo n:   x^2+mx=-n

2º) Sumando (m^2)/4 a los dos miembros:      
x^2+mx+(m^2)/4=(m^2)/4-n

3º) Descomponiendo el primer miembro que es un trinomio cuadrado perfecto:
                        (x+m/2)^2=(m^2)/4-n

4º) Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:
                       x+m/2=±√( (m^2)/4-n)

5º) Transponiendo   m/2   :         x=-m/2 ±  √((m^2)/4-n)

Ejemplo: Resolver    3x^2-2x(x-4)=x-12   por la fórmula particular

Simplificando la ecuación          3x^2-2x^2+8x=x-12
                                                     x^2+7x+12=0

Aquí m=7, n=12, luego aplicando la fórmula particular:
 x=-m/2±√(m^2)/4-n)
x=-7/2±√((7^2)/4-12)
x=-7/2±√(49/4-12)
x=-7/2±√(1/4)
x=-7/2±1/2                            
x=-7/2+1/2=-6/2=-3       x=-7/2-1/2=-8/2=-4

Convengamos que hubiéramos podido calcular las raíces de la ecuación a través de la factorización

                                      
x^2+7x+12=0
(x+4)(x+3)=0
(x+4)=0        (x+3)=0                             
x=-4                 x=-3

Pero esta fórmula nos simplifica el trabajo cuando los números son muy grandes y para resolver  por el método de factorización debemos descomponerlo en sus factores primos, lo que nos lleva mucho tiempo, lo que no sucede utilizando la fórmula particular:    x=-m/2±√((m^2)/4-n)    y realizando la sustitución correspondiente.

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