Método de los coeficientes a determinar o Método de DESCARTES.

Vamos a aplicar D=d.q+r para la determinación del cociente y del resto de una división de Polinomios; esta técnica de división que estudiaremos ahora es denominada:
Método de los coeficientes a determinar o Método de Descartes.
Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de:

D=x^4+x^3-7x^2+9x-1 por d=x^2+3x+2                  
Resolución

Por el Algoritmo de la división tenemos:
D=d.q+r
Y el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

gr(q)=gr(D)-gr(d)
gr(q)=4º-2º
gr(q)=2º    

    Por lo tanto el cociente q=ax^2+bx+c

El resto, r=0 ó gr(r) <gr (d), por lo tanto el grado máximo de r es 1                                             r=dx+e 
Entonces tenemos
D=d.q+r
x^4+x^3-7x^2+9x-1=(x^2+3x+2)(ax^2+bx+c)+dx+e
x^4+x^3-7x^2+9x-1=ax^4+(b+3a) x^3+(c+3b-2a) x^2+(3c-2b+d)x+(-2c+e)
Por lo tanto tenemos el sistema de ecuaciones:
a=1
b+3a=1 →b+3(1)=1 → b=1-3→ b=-2
c+3b-2a=-7 → c+3(-2)-2(1)=-7 →c-6-2=-7→ c-8=-7→
                         c=-7+8→ c=1
3c-2b+d=9 →3(1)-2(-2)+d=9→ 3+4+d=9→ 7+d=9→d=9-7→
                        d=2
-2c+e=-1 →-2(1)+e=-1→-2+e=-1→e=-1+2→ e=1

Si q=ax^2+bx+c ,entonces q=x^2-2x+1
(Se sustituye el valor de a,b y c)

Si r=dx+e ,entonces r=2x+1
(Se sustituye el valor de d y e)
Luego, el cociente es: q=x^2-2x+1 y el resto: r=2x+1