Matemática: Regla mnemotécnica ALPES para Integrar por partes.

viernes, 7 de diciembre de 2012

Regla mnemotécnica ALPES para Integrar por partes.

INTEGRACIÓN POR PARTES.

Para recordar la parte de la fórmula de la derecha podemos utilizar la siguientes frases:

Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme

Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme

Sentado Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme

Susana Un Día Vio Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme

Unamuno Dice Verdades: Una Verdad menos integra Verdaderas Dudas Universales

Solo Un Día Vi Una Vaca menos flaca Vestida De Uniforme

Un Día Vi Una Vaca sin corbata Vestida De Uniforme

La integral de Un Día Vi es igual a Una Vaca menos la integral de Vestida De Uniforme

Un Día Vi Un Viajero Sobre su Volkswagen De Uranio

Luego de que ya sabemos la fórmula,porque utilizamos algunas de las frases arriba mencionadas,debemos sortear otro inconveniente, ¿qué uso para determinar cómo asignar $u$ y $dv$ de forma correcta? Pues ahí aparece la regla ALPES.

¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una de las letras de esta alpina palabra:

A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)

L: Logaritmos

P: Potencias (de exponente numérico)

E: Exponenciales

S: Seno y coseno

Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo:

Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una integral de una función arco solamente, un logaritmo solamente o un producto de dos funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos.

En el primero caso, sólo una función arco, llamaremos $u$ a esa función arco y $dv$ al resto ( $dx$ en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos $u$ al logaritmo y $dv$ al resto (también $dx$ ); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamaremos $u$ a la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y $dv$ al resto (que ahora será la otra función por $dx$ ).

Por ejemplo, la integral

$\displaystyle{\int x \log{(x)} \; dx}$

es un producto de $x$ , que pertenece a P, y $\log{(x)}$ , que entra en L. Como en ALPES la L aparece antes que la P, la asignación será:

$u=\log{(x)} \qquad dv=x \cdot dx$

A partir de ellos calcularemos $du$ (derivando lo que hemos llamado $u$ ) y $v$ (integrando lo que hemos llamado $dv$ ), y aplicaremos la fórmula base del método (sí, la de la vaca, el soldadito o el uranio). Se entiende que la integral que nos quedará por resolver será sencilla. Generalmente será inmediata o susceptible de aplicarle de nuevo integración por partes.

En inglés, este método se denomina LIATE