Regla mnemotécnica ALPES para Integrar por partes.

INTEGRACIÓN POR PARTES.                    

Para recordar la parte de la fórmula de la derecha podemos utilizar la siguientes frases:

• Un Día Vi Una Vaca Vestida De Uniforme
• Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
• Sentado Un Día Vi Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
• Susana Un Día Vio Un Valiente Soldadito Vestido De Uniforme
• Unamuno Dice Verdades: Una Verdad menos integra Verdaderas Dudas Universales
• Solo Un Día Vi Una Vaca menos flaca Vestida De Uniforme
• Un Día Vi Una Vaca sin corbata Vestida De Uniforme
• La integral de Un Día Vi es igual a Una Vaca menos la integral de Vestida De Uniforme
• Un Día Vi Un Viajero Sobre su Volkswagen De Uranio

Luego de que ya sabemos la fórmula,porque utilizamos algunas de las frases arriba mencionadas,debemos sortear otro inconveniente, ¿qué uso para determinar cómo asignar y de forma correcta? Pues ahí aparece la regla ALPES.

¿En qué consiste esta regla? Primero descubramos qué significado tienen cada una de las letras de esta alpina palabra:

• A: funciones Arco (arco seno, arco coseno, arco tangente)
• L: Logaritmos
• P: Potencias (de exponente numérico)
• E: Exponenciales
• S: Seno y coseno

Bien, ¿cómo usamos todo esto? Muy sencillo:

1. Convendrá utilizar el método de integración por partes cuando tengamos enfrente una integral de una función arco solamente, un logaritmo solamente o un producto de dos funciones que pertenezcan a dos de esos cinco tipos.
2. En el primero caso, sólo una función arco, llamaremos a esa función arco y al resto ( en este caso); en el segundo caso, sólo un logaritmo, llamaremos al logaritmo y al resto (también ); y en el tercer caso, el más interesante, el del producto, llamaremos a la función cuyo tipo aparezca primero en ALPES y al resto (que ahora será la otra función por ).

Por ejemplo, la integral

es un producto de , que pertenece a P, y , que entra en L. Como en ALPES la L aparece antes que la P, la asignación será:

A partir de ellos calcularemos (derivando lo que hemos llamado ) y (integrando lo que hemos llamado ), y aplicaremos la fórmula base del método (sí, la de la vaca, el soldadito o el uranio). Se entiende que la integral que nos quedará por resolver será sencilla. Generalmente será inmediata o susceptible de aplicarle de nuevo integración por partes.

En inglés, este método se denomina LIATE

• Logarithmic functions
• Inverse trigonometric functions
• Algebraic functions
• Trigonometric functions
• Exponential functions)

y al parecer fue propuesto por Herbert Kasube, profesor de la Universidad de Bradley

Extraido de :

.http://gaussianos.com/cuando-y-como-usar-integracion-por-partes-la-regla-de-los-alpes-y-otras-ayudas-mnemotecnicas/

REGLAS MNEMOTÉCNICAS

                          ¿Qué son?                                                                                   

El término mnemotecnia proviene de «Mnemósine», la diosa de la memoria, esposa de Zeus y madre de las nueve musas.

Etimológicamente, la mnemotecnia es el "arte" del que "se acuerda". Bajo ese nombre se agrupan una serie de técnicas que consisten en aumentar y potenciar el uso de la memoria.

El principio de estas técnicas de memorización consiste en que todo lo nuevo que se fija en nuestra mente se realiza por medio de la asociación con algo ya conocido.

Se trata de crear acrósticos (palabras o "frases gancho" ) en las que la inicial o primera sílaba de cada una de ellas sea también la inicial o primera sílaba de los ítems que vamos a memorizar.

Reglas Mnemotécnicas de Matemática

Método para factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c

Metodo Cruzado.

 Veamos el siguiente ejemplo:    3x2-2x-5

Primero, debemos buscar dos factores que nos deen el primer término así:   (3x)(x)

Segundo,buscar dos factores del tercer término:  (-5)(1) ó (5)(1)

Tercero,buscar la combinación de todos los posibles factores,tal que,cuando se multiplican cruzado y luego se sumen esos productos,el resultado sea el segundo término:

(3x)(5)+(x)(-1)=15x+(-x)=14x,lo descartamos pues el resultado no es el 2º término

(3x)(-5)+(x)(1)=-15x+(x)=-14x,lo descartamos pues el resultado no es el 2º término

(3x)(-1)+(x)(5)=-3x+5x=2x,lo descartamos pues el resultado no es el 2º término

          

(3x)(1)+(x)(-5)=3x-5x=-2x

,Observa que la última combinación de factores es la que reproduce el término 
del medio.

   Observa el siguiente video,espero que sea de utilidad para mejorar la comprensión  del método.

Deducción de la fórmula para resolver ecuaciones de la forma x^2+mx+n=0



Fórmula General Cuadrática.

Las ecuaciones de la forma como x^2+5x+6=0 se caracterizan porque el coeficiente del término en x^2 es 1.Estas ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general:

Con sólo suponer en ésta que a=1,pero existe para ella una fórmula particular,que vamos a deducir,

La ecuación es
                       x^2+mx+n

1º) Transponiendo n:   x^2+mx=-n

2º) Sumando (m^2)/4 a los dos miembros:      

                            x^2+mx+(m^2)/4=(m^2)/4-n

3º) Descomponiendo el primer miembro que es un trinomio cuadrado perfecto:

                        (x+m/2)^2=(m^2)/4-n

4º) Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:
                       x+m/2=±√( (m^2)/4-n)

5º) Transponiendo   m/2   :         x=-m/2 ±  √((m^2)/4-n)

Ejemplo: Resolver    3x^2-2x(x-4)=x-12   por la fórmula particular

Simplificando la ecuación          3x^2-2x^2+8x=x-12
                                                     x^2+7x+12=0

Aquí m=7, n=12, luego aplicando la fórmula particular:
 x=-m/2±√(m^2)/4-n)

x=-7/2±√((7^2)/4-12)

x=-7/2±√(49/4-12)

x=-7/2±√(1/4)

x=-7/2±1/2                            
x=-7/2+1/2=-6/2=-3       x=-7/2-1/2=-8/2=-4

Convengamos que hubiéramos podido calcular las raíces de la ecuación a través de la factorización

                                      

x^2+7x+12=0
(x+4)(x+3)=0
(x+4)=0        (x+3)=0                             

x=-4                 x=-3

Pero esta fórmula nos simplifica el trabajo cuando los números son muy grandes y para resolver  por el método de factorización debemos descomponerlo en sus factores primos, lo que nos lleva mucho tiempo, lo que no sucede utilizando la fórmula particular:    x=-m/2±√((m^2)/4-n)    y realizando la sustitución correspondiente.

Método de los coeficientes a determinar o Método de DESCARTES.

Vamos a aplicar D=d.q+r para la determinación del cociente y del resto de una división de Polinomios; esta técnica de división que estudiaremos ahora es denominada:
Método de los coeficientes a determinar o Método de Descartes.
Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de:

D=x^4+x^3-7x^2+9x-1 por d=x^2+3x+2                  
Resolución

Por el Algoritmo de la división tenemos:
D=d.q+r
Y el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

gr(q)=gr(D)-gr(d)
gr(q)=4º-2º
gr(q)=2º    

    Por lo tanto el cociente q=ax^2+bx+c

El resto, r=0 ó gr(r) <gr (d), por lo tanto el grado máximo de r es 1                                             r=dx+e 
Entonces tenemos
D=d.q+r
x^4+x^3-7x^2+9x-1=(x^2+3x+2)(ax^2+bx+c)+dx+e
x^4+x^3-7x^2+9x-1=ax^4+(b+3a) x^3+(c+3b-2a) x^2+(3c-2b+d)x+(-2c+e)
Por lo tanto tenemos el sistema de ecuaciones:
a=1
b+3a=1 →b+3(1)=1 → b=1-3→ b=-2
c+3b-2a=-7 → c+3(-2)-2(1)=-7 →c-6-2=-7→ c-8=-7→
                         c=-7+8→ c=1
3c-2b+d=9 →3(1)-2(-2)+d=9→ 3+4+d=9→ 7+d=9→d=9-7→
                        d=2
-2c+e=-1 →-2(1)+e=-1→-2+e=-1→e=-1+2→ e=1

Si q=ax^2+bx+c ,entonces q=x^2-2x+1
(Se sustituye el valor de a,b y c)

Si r=dx+e ,entonces r=2x+1
(Se sustituye el valor de d y e)
Luego, el cociente es: q=x^2-2x+1 y el resto: r=2x+1

Multiplicación de polinomios por coeficientes separados

La multiplicación de polinomios por coeficientes separados abrevia la operación y se aplica en los dos casos siguientes:  
  1) Multiplicación de dos polinomios que contengan una sola letra y estén ordenados en el mismo orden con relación a esa letra.
Ejemplo:( 3x^3-2x^2+5x-2) por (2x^2+4x-3)
Escribimos solamente los coeficientes con sus signos y efectuamos la multiplicación:
                               3-2+5-2
                               2+4-3
                           
                               6-4+10-4
                                  12-8+20-8
                                       -9+6-15+6
                              
                               6+8-7+22-23+6
Como el primer témino del multiplicando tiene x^3 y el primer término del multiplicador tiene x^2,el primer término del producto tendrá x^5,y como en los factores el exponente de x disminuye una unidad en cada término,en el producto el exponente de x disminuirá también una unidad en cada término,luego el producto será:
                    6x^5^+8x^4-7x^3+22x^2-23x+6
2) Multiplicación de dos polinomios homogéneos que contengan solo dos letras comunes y estén ordenados en el mismo orden con relación a una de las letras.
Un Polinomio es homogéneo cuando todos sus térmminos son homogéneos,es decir,cuando la suma de los exponentes de las letras en cada término es una cantidad constante.
El producto de dos polinomios homogéneos es otro polinomio homogéneo.
Ejemplo:
(a^4-5a^3m+7a^2m^2-3m^4) por (3a^2-2m^2)

                                          1-5+7+0-3
                                          3+0-2
                                                                                                                
                                              3-15+21+0-9
                                                       -2+10-14+0+6
                                    
                                              3-15+19+10-23-0+6
El primer término del producto tendrá a^6 y,como el producto es homogéneo,la suma de los exponentes de las letras en cada término será 6.
Como en los factores el exponente de a disminuye una unidad en cada término y el de m aumenta una unidad en cada término,en el producto se cumplirá la misma ley,luego el producto será:
        3a^6-15a^5m+19a^4m^2+10a^3m^3-23a^2m^4+6m^6

Aquí va este video que explica con detalles este método.