Determinantes de orden superior a 3

En el caso de determinantes de orden superior a 3 (es decir, asociados a matrices de tamaño nxn con n>3) ,la expresión resultante tiende a complicarse, por lo que recurriremos al método de desarrollo de adjuntos para su cálculo.

Para calcular el determinante de una matriz 4x4 (o superior) se debe hacer:

1) Elegir aquella fila que tenga el mayor número de ceros( si ninguna línea tiene ceros, se coge una línea cualquiera)

Fijémonos en el siguiente ejemplo:

En este caso elegimos la 1º columna

Método para factorizar un trinomio de la forma ax2+bx+c

Metodo Cruzado.

 Veamos el siguiente ejemplo:    3x2-2x-5

Primero, debemos buscar dos factores que nos deen el primer término así:   (3x)(x)

Segundo,buscar dos factores del tercer término:  (-5)(1) ó (5)(1)

Tercero,buscar la combinación de todos los posibles factores,tal que,cuando se multiplican cruzado y luego se sumen esos productos,el resultado sea el segundo término:

(3x)(5)+(x)(-1)=15x+(-x)=14x,lo descartamos pues el resultado no es el 2º término

(3x)(-5)+(x)(1)=-15x+(x)=-14x,lo descartamos pues el resultado no es el 2º término

(3x)(-1)+(x)(5)=-3x+5x=2x,lo descartamos pues el resultado no es el 2º término

          

(3x)(1)+(x)(-5)=3x-5x=-2x

,Observa que la última combinación de factores es la que reproduce el término 
del medio.

   Observa el siguiente video,espero que sea de utilidad para mejorar la comprensión  del método.

Deducción de la fórmula para resolver ecuaciones de la forma x^2+mx+n=0



Fórmula General Cuadrática.

Las ecuaciones de la forma como x^2+5x+6=0 se caracterizan porque el coeficiente del término en x^2 es 1.Estas ecuaciones pueden resolverse por la fórmula general:

Con sólo suponer en ésta que a=1,pero existe para ella una fórmula particular,que vamos a deducir,

La ecuación es
                       x^2+mx+n

1º) Transponiendo n:   x^2+mx=-n

2º) Sumando (m^2)/4 a los dos miembros:      

                            x^2+mx+(m^2)/4=(m^2)/4-n

3º) Descomponiendo el primer miembro que es un trinomio cuadrado perfecto:

                        (x+m/2)^2=(m^2)/4-n

4º) Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:
                       x+m/2=±√( (m^2)/4-n)

5º) Transponiendo   m/2   :         x=-m/2 ±  √((m^2)/4-n)

Ejemplo: Resolver    3x^2-2x(x-4)=x-12   por la fórmula particular

Simplificando la ecuación          3x^2-2x^2+8x=x-12
                                                     x^2+7x+12=0

Aquí m=7, n=12, luego aplicando la fórmula particular:
 x=-m/2±√(m^2)/4-n)

x=-7/2±√((7^2)/4-12)

x=-7/2±√(49/4-12)

x=-7/2±√(1/4)

x=-7/2±1/2                            
x=-7/2+1/2=-6/2=-3       x=-7/2-1/2=-8/2=-4

Convengamos que hubiéramos podido calcular las raíces de la ecuación a través de la factorización

                                      

x^2+7x+12=0
(x+4)(x+3)=0
(x+4)=0        (x+3)=0                             

x=-4                 x=-3

Pero esta fórmula nos simplifica el trabajo cuando los números son muy grandes y para resolver  por el método de factorización debemos descomponerlo en sus factores primos, lo que nos lleva mucho tiempo, lo que no sucede utilizando la fórmula particular:    x=-m/2±√((m^2)/4-n)    y realizando la sustitución correspondiente.

Método de los coeficientes a determinar o Método de DESCARTES.

Vamos a aplicar D=d.q+r para la determinación del cociente y del resto de una división de Polinomios; esta técnica de división que estudiaremos ahora es denominada:
Método de los coeficientes a determinar o Método de Descartes.
Ejemplo: Determinar el cociente y el resto de la división de:

D=x^4+x^3-7x^2+9x-1 por d=x^2+3x+2                  
Resolución

Por el Algoritmo de la división tenemos:
D=d.q+r
Y el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el grado del divisor.

gr(q)=gr(D)-gr(d)
gr(q)=4º-2º
gr(q)=2º    

    Por lo tanto el cociente q=ax^2+bx+c

El resto, r=0 ó gr(r) <gr (d), por lo tanto el grado máximo de r es 1                                             r=dx+e 
Entonces tenemos
D=d.q+r
x^4+x^3-7x^2+9x-1=(x^2+3x+2)(ax^2+bx+c)+dx+e
x^4+x^3-7x^2+9x-1=ax^4+(b+3a) x^3+(c+3b-2a) x^2+(3c-2b+d)x+(-2c+e)
Por lo tanto tenemos el sistema de ecuaciones:
a=1
b+3a=1 →b+3(1)=1 → b=1-3→ b=-2
c+3b-2a=-7 → c+3(-2)-2(1)=-7 →c-6-2=-7→ c-8=-7→
                         c=-7+8→ c=1
3c-2b+d=9 →3(1)-2(-2)+d=9→ 3+4+d=9→ 7+d=9→d=9-7→
                        d=2
-2c+e=-1 →-2(1)+e=-1→-2+e=-1→e=-1+2→ e=1

Si q=ax^2+bx+c ,entonces q=x^2-2x+1
(Se sustituye el valor de a,b y c)

Si r=dx+e ,entonces r=2x+1
(Se sustituye el valor de d y e)
Luego, el cociente es: q=x^2-2x+1 y el resto: r=2x+1

Multiplicación de polinomios por coeficientes separados

La multiplicación de polinomios por coeficientes separados abrevia la operación y se aplica en los dos casos siguientes:  
  1) Multiplicación de dos polinomios que contengan una sola letra y estén ordenados en el mismo orden con relación a esa letra.
Ejemplo:( 3x^3-2x^2+5x-2) por (2x^2+4x-3)
Escribimos solamente los coeficientes con sus signos y efectuamos la multiplicación:
                               3-2+5-2
                               2+4-3
                           
                               6-4+10-4
                                  12-8+20-8
                                       -9+6-15+6
                              
                               6+8-7+22-23+6
Como el primer témino del multiplicando tiene x^3 y el primer término del multiplicador tiene x^2,el primer término del producto tendrá x^5,y como en los factores el exponente de x disminuye una unidad en cada término,en el producto el exponente de x disminuirá también una unidad en cada término,luego el producto será:
                    6x^5^+8x^4-7x^3+22x^2-23x+6
2) Multiplicación de dos polinomios homogéneos que contengan solo dos letras comunes y estén ordenados en el mismo orden con relación a una de las letras.
Un Polinomio es homogéneo cuando todos sus térmminos son homogéneos,es decir,cuando la suma de los exponentes de las letras en cada término es una cantidad constante.
El producto de dos polinomios homogéneos es otro polinomio homogéneo.
Ejemplo:
(a^4-5a^3m+7a^2m^2-3m^4) por (3a^2-2m^2)

                                          1-5+7+0-3
                                          3+0-2
                                                                                                                
                                              3-15+21+0-9
                                                       -2+10-14+0+6
                                    
                                              3-15+19+10-23-0+6
El primer término del producto tendrá a^6 y,como el producto es homogéneo,la suma de los exponentes de las letras en cada término será 6.
Como en los factores el exponente de a disminuye una unidad en cada término y el de m aumenta una unidad en cada término,en el producto se cumplirá la misma ley,luego el producto será:
        3a^6-15a^5m+19a^4m^2+10a^3m^3-23a^2m^4+6m^6

Aquí va este video que explica con detalles este método.